指数函数的单调性

指数函数的单调性

指数函数的单调性怎么求?y=a^x如果a>1,则函数单调递增,如果0<a<1,则函数单调递减.规律\”同增异减\”是什么意思? 假设：1、复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大;2、复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X。因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大。

因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：假设：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小。

反之亦然，因此可得“异减”。

怎么判断单调性的指数函数的单调性呢（

f（x）=a的x次幂，a＞0,a≠1为指数函数。当a＞1,函数为增函数。

当0＜a＜1,函数是减函数。

指数函数及性质

指数函数其实就是之前学习的一个推广，当底数大于零，可以将指数的取值范围从指数推广到了实数，这就形成了指数函数的形成，对此只有看数学界的定义了。在此之前有两个前提：指数函数的底数大于零。

指数函数的底数不能等于一。

数学界指数函数的定义：一般地，函数必修一——指数函数以及性质编辑 搜图请点击输入**描述只要形式上，符合上图的函数形式，则这种函数就是叫做指数函数。其中x是自变量，并且函数的定义域是R。三、指数函数的性质由指数函数的形式可以得出，指数函数的底数要求大于零，并且不等于一，这就让定义域划分为了两部分：必修一——指数函数以及性质必修一——指数函数以及性质由于底数的取值范围，造就了两个区间，因此当底数0<a<1时，函数是一个单调递减的函数，当底数a>1时，函数是一个单调递增的函数。以其中的a>1作为讨论，指数函数也是函数，既然是函数就按照函数的相关性质进行讨论，在这之前要先说明指数函数的定义域： x∈R指数函数的**个性质就是单调性，由图可知，指数函数的单调性由a的取值范围决定的，当a>1时，指数函数是单调递增函数，当0<a<1时，指数函数是单调递减函数。

函数第二个性质就是奇偶性，但从图像上看，并没有奇偶性，就不讨论了。函数第三个性质就是周期性，同理，从图像上看，也是没有周期性，也不做讨论了。函数第四个性质就是对称性，从图像上看，也没有对称性，也就不讨论了。

这就是从函数的性质上面进行讨论的，除此之外就需要从指数函数自身的性质进行讨论了。指数函数的所有的图像都过一个定点（0，1），即x=0时，y=1第二个专属性质就是单调性由a的取值范围决定的。

指数函数的单调性怎么求？

令x1<x2y1=5^x1>0y2=5^x2>0y1/y2=5^x1/5^x2=5^(x1-x2) 因为x1<x2 所以 x1-x2<0 5^(x1-x2)<1所以 y1<y2根据增函数定义可知y=5 上标x次方，在定义域内为增函数指数函数用定义证明单调性，一般做商，之后再与1比较大小

指数函数的单调性一直是不变的吗？那么指数为负数时单调性怎么好像变了呢？

指数函数的单调性只跟底数有关，与指数的正负无关。当底数>1,单调增;当0<底数<1,单调减。

只不过指数为0时，函数值都为1.因此在指数变号时，值就在从比1大变得比1小，或反之。

如何证明指数函数的单调性

对a^x，a > 0，讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。指数函数是定义在整个实数区间上的。

我们先说在整数上的定义：a^n = a * a * … * a （n > 0，下同）（n个a相乘）a^0 = 1a^(-n) = 1 / a^n再说有理数集上的定义：a^(1 / n) = a的n次算术根，a^(p / q) = (a^p)的q次算术根，其中p / q是既约分数.这样一来，有理数集上的指数函数就定义好了。

并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p / q)的单调性。事实上，对a^(p1 / q1)和a^(p2 / q2)，可以把分数p1 / q1和p2 / q2通分，这样分母相同，设分别是p1\’ / q， p2\’ / q。现在就是在比以a^(1 / q)为底，以p1\’和p2\’为指数的两个数大小。